Quick Pow

计算 an % b,其中a,b和n都是32位的整数。

样例

例如 231 % 3 = 2
例如 1001000 % 1000 = 0

挑战

O(logn)

Solution

数学题,考察整数求模的一些特性,不知道这个特性的话此题一时半会解不出来,本题中利用的关键特性为:

(a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p

即 a 与 b 的乘积模 p 的值等于 a, b 分别模 p 相乘后再模 p 的值,只能帮你到这儿了,不看以下的答案先想想知道此关系后如何解这道题。

首先不太可能先把 an 具体值求出来,太大了... 所以利用以上求模公式,可以改写为:

an = an/2⋅an/2 = an/4⋅an/4⋅an/4⋅an/4 = ...

至此递归模型建立。

Complexity

时间复杂度 O(n),空间复杂度 O(logn)

Code

class Solution {
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
    public int fastPower(int a, int b, int n) {
       if (n == 1) {
            return a % b;
        } else if (n == 0) {
            return 1 % b;
        } else if (n < 0) {
            return -1;
        }

        // (a * b) % p = ((a % p) * (b % p)) % p
        // use long to prevent overflow
        long product = fastPower(a, b, n / 2);
        product = (product * product) % b;
        if (n % 2 == 1) {
            product = (product * a) % b;
        }

        // cast long to int
        return (int) product;
    }
};

源码分析

分三种情况讨论 n 的值,需要特别注意的是n == 0,虽然此时 a0 的值为1,但是不可直接返回1,因为b == 1时应该返回0,故稳妥的写法为返回1 % b.

递归模型中,需要注意的是要分 n 是奇数还是偶数,奇数的话需要多乘一个 a, 保存乘积值时需要使用long型防止溢出,最后返回时强制转换回int。

复杂度分析

使用了临时变量product,空间复杂度为 O(1), 递归层数约为 logn, 时间复杂度为 O(logn), 栈空间复杂度也为 O(logn).